Die umgangene Primzahl

1 Kommentar
0 gefällt

Die umgangene Primzahl

Bezogen auf den Beitrag "Die siebenzehn Kamele oder Die Kunst, aus einer unlösbaren Aufgabe eine lösbare zu machen" hier einige Ergänzungen


Dem Vater ist bei seinem letzten Willen klar, dass seine 17 Kamele unter der Bedingung, „Kein Tier darf getötet werden", unter seinen Söhnen nicht aufgeteilt werden können.

Er macht deshalb von Anfang an die Zahl 18 zum Ausgangspunkt seiner Idee: die nächste Zahl nach der Primzahl 17, die Zahl 18, ist durch mehrere ganze Zahlen teilbar. Da der Vater nur 17 Tiere besitzt, muss die Herde um 1 geliehenes Kamel aufgestockt werden.

Für die Herde von 18 Tieren bildet der Vater nunmehr 18 Erbanteile zu je 1/18 als kleinste, nicht mehr teilbare Einheiten (quasi "Erbteilsquanten“: 17 dieser Erbanteile (9/18, 6/18, 2/18) sind für seine Söhne, der letzte Erbanteil ist für den Verleiher des 18. Kamels bestimmt. 

Erbanteile von 1/18 braucht der Vater, weil er einen solchen Erbanteil für den Verleiher des 18. Kamels reservieren muss.

Es gibt also 2 Reihen:

- die reale Reihe der 18 Tiere und
- die abstrakte Reihe der 18 Erbanteile.

Der Vorteil der Söhne durch das 18. Kamel in der realen Reihe wird durch eine Kürzung ihres Anteils an der Herde von 18 Tieren um 1/18 auf 17/18 in der abstrakten Reihe der Erbanteile ausgeglichen: 18 x 17/18, das sind wieder die 17 Tiere des Vaters.

Die beiden Reihen der Kamele und der Erbanteile stehen also in einem inneren Zusammenhang:

- die Zahl der Erbanteile ist gleich der Zahl der Kamele,
- die Höhe der Erbanteile ist gleich 1 geteilt durch die Zahl der Kamele.

Also: 18 Kamele — 18 Erbanteile — 1 Erbanteil = 1/18.

Anders ausgedrückt: zu jedem der 18 Kamele gehört ein Erbanteil von 1/18.

Der Vater hätte im Übrigen auch seine 17 Tiere ganzzahlig teilen können: die Primzahl 17 ist durch sich selbst teilbar. Er hätte dann 17 Erbanteile bilden müssen:
9/17 + 6/17 + 2/17 = 17/17. Diese einfache Lösung wollte der Vater aber offenbar nicht: sie hätte seine Söhne nicht herausgefordert.

Es gibt also grundsätzlich 2 Wege, um die Wirkung der Primzahl zu umgehen:

1. Die Aufstockung der Herde mit Ausgleich bei den Erbanteilen: 18 x 17/18 = 17.
2. Die Teilung der Primzahl durch sich selbst: 17:17.

Folgendes Zahlenbild im Vergleich ergibt sich:

 

Tiere      
17er Herde 9+6+2   = 17
18er Herde 9+6+2+1   = 18
       
Erbanteile      
17er Herde 9/17 + 6/17 + 2/17     = 17/17
18er Herde  9/18 + 6/18 + 2/18 + 1/18 = 18/18
    - 1/18 = 17/18

 

Bezogen auf die 17 Tiere des Vaters in der realen Reihe ist das Ergebnis beider Wege identisch: 9+6 +2 = 17. Das muss so sein: auf der Basis 17 wird das geliehene Kamel (+ 1) zurückgegeben (-1). Der Weg der Teilung der Primzahl durch sich selbst führt zu Erbanteilen von 1/17, der Weg der Aufstockung zu Erbanteilen von 1/18. Nur die letzteren lassen sich zu höheren Erbteilen (z.B. 1/2, 1/3, 1/9) zusammensetzen, die 1/17-Erbanteile nicht (Wirkung der Primzahl).

Um die Söhne herauszufordern, wählte der Vater also die kompliziertere Lösung über die 18 Kamele in der Hoffnung, dass seine Söhne kraft eigener Idee die 17 Kamele auf 18 bringen würden: eine Herausforderung, welche die Söhne nicht bestanden, und der erst der Derwisch gerecht wurde.

Bis zu dem Augenblick, als der Derwisch sein Kamel zu den 17 Kamelen des Vaters stellte, war die Bedingung gleicher Zahl der Tiere und der Erbanteile, die Kongruenz beider Reihen, nicht erfüllt: 17 Kamelen standen 18 Erbanteile gegenüber: es wirkte die Primzahl. Erst mit dem Kamel des Derwischs gehörte zu jedem der nun 18 Kamele ein Erbteil von 1/18 (Kongruenz).

Die Primzahl entfaltet ihre blockierende Wirkung nur, wenn sie ganzzahlig geteilt werden soll. Und das geschieht hier gerade nicht: geteilt wird die Zahl 18. Alle Primzahlen unter 18 sind damit wirkungslos.

Diesem inneren Bild der 18 Erbanteile, von denen 17 zu Erbteilen der Söhne zusammengefasst werden, entspricht das äußere Geschehen: statt 17 Tiere auf die 3 Söhne werden 18 Tiere auf die Söhne und den Verleiher verteilt.

Fazit:

Die mathematisch unlösbare Aufgabe der ganzzahligen Teilung einer Primzahl (hier der 17) kann in eine lösbare Aufgabe verwandelt und die Primzahl so umgangen werden.

Das Prinzip, das der Vater in der Parabel der 17 Kamele erdacht hat, kann meines Erachtens auf alle Primzahlen angewendet werden.

Abschließend die mathematische Kurzfassung der Parabel:

17 = 18 x 17/18 = 9 + 6 + 2 = 17
vor bei           nach der Teilung

 

Kehren wir zurück zu der Ausgangsfrage des Rätsels: Was ist geschehen?

Ein Wunder? Gewiss nicht! Alles, was geschehen ist, ist rational zu erklären.

Das habe ich in drei Argumentationen aus drei Blickwinkeln getan:

1, Die Primzahl 17 blockiert nur dann, wenn sie ganzzahlig geteilt werden soll. Hier jedoch wird die Zahl 18 geteilt.

2. Die unlösbare Aufgabe der ganzzahligen Teilung (außer durch sich selbst) von 17 wird in eine lösbare Aufgabe verwandelt: Teilung von 18 mit Ausgleich bei den Erbanteilen.

3. 18 Kamelen stehen 18 Erbanteile als kleinste, unteilbare Einheiten gegenüber: 17 werden zu Erbteilen der Söhne zusammengefasst, der 18. Erbanteil bleibt für den Verleiher des 18. Kamels.

Zuweilen höre ich: „Das Rätsel der 17 Kamele ist unlösbar, geht mathematisch nicht“.

Dem widerspreche ich mit Nachdruck und mit den dargestellten Argumenten.

Aber selbst, wenn “geht mathematisch nicht“ zutreffen würde, wäre das Ergebnis denkwürdig und die Idee des Vaters genial: eine Lösung, die “mathematisch nicht geht“, aber von allen Beteiligten freudig angenommen wird.


Anhang 1

Die Umgehung der Primzahl

- Versuch einer „quantischen“ Betrachtung –

Die erfolgreiche Realisierung der Idee des Vaters in der Parabel der 17 Kamele beweist, dass eine Primzahl umgangen werden kann. Trotzdem bleibt an dem Geschehen etwas Rätselhaftes.

Ich möchte das Rätsel weiter durchdringen und will dazu eine „quantische" Betrachtung des Vorgangs versuchen.

Man kann sich jede Zahl als einen Verband von ebenso vielen Bausteinen dieser Zahl vorstellen: Sie sind die kleinsten Einheiten (quasi: „Quanten“), aus denen die Zahl besteht.

Jede Nicht-Primzahl kann durch eine oder mehrere kleinere Zahlen ganzzahlig geteilt werden. Geschieht dies, so erlischt die ursprüngliche Zahl, und ihre Bausteine werdenfrei. Die Gruppen von Bausteinen, die aus der Teilung hervorgegangen sind, beginnen ein neues Leben, indem sie sich mit anderen Bausteinen verbinden oder sich weiterteilen.

Bei der Primzahl ist das anders. Ihre Bausteine können mangels Teilungsmöglichkeiten den Verband nicht verlassen, sie sind in inm gefangen. Odervielleicht doch nicht?

In der Tat!: Eine Zahl mit ihren Bausteinen kann — außer durch Teilung - ihr Ende auch durch ihren Zerfall finden, den totalen Zerfall in alle ihre Bausteine: das geschieht, wenn eine Zahl durch sich selbst geteilt wird. Das Ergebnis ist 1, und jeder Baustein hat den Wert von „1, geteilt durch die Zahl“.

Und das gilt auch für Primzahlen, was leicht übersehen wird. Genau dadurch wird aber die Primzahl umgangen. Mit der Teilung durch 17 werden aus der Herde des Vaters 17 Siebenzehntel, die frei werden: durch die Teilung der Primzahl 17 durch sich selbst.

Nun ist es allerdings so, dass diese freiwerdenden Siebenzehntel, weil die Primzahl immer noch in ihrem Nenner steht, nicht zu höherwertigen Verbindungen zusammengefügt werden können: z.B. zu den Erbauoten, die der Vater bestimmt hat (1/2, 1/3, 1/9). Da hilft die Idee des Vaters weiter, die Herde um 1 geliehenes Kamel aufzustocken. Damit entsteht eine Herde von 18 Tieren, bestehend aus 18 kleinsten Bausteinen. „Quant“ des Rätsels ist also 1/18. Die 18/18 lassen sich dann zu den von dem Vater vorgegebenen Erbquoten zusammenfassen: zu 1/2 = 9/18 + 1/3 = 6/18 + 1/9 = 2/18, insges. 17/18. Bleibt 1/18 übrig für das Kamel des Verleihers.

Ist damit der Zauber der Umgehung der Primzahl „entzaubert“? Ich meine: ja! Die „quantische" Betrachtung zeigt, dass hier kein Zauber waltet, sondern ein menschlicher Denkfehler: die Kraft der „teilungsresistenten“ Primzahl wird überschätzt, weil übersehen wird, dass auch die Primzahl — wie jede andere Zahl - durch sich selbst geteilt werden kann.

Was bleibt dann von der Macht der Primzahl?: Fast nichts!:

- Auf den Granit der Primzahl stößt nur derjenige, der versucht, die Primzahl direkt zu
teilen.

- Wer dagegen vorzieht, die Primzahl durch sich selbst zu teilen, hat kein Teilungsproblem. Er erhält allerdings nur „Primzahl-Quanten“ (Bausteine), die die Bildung höherer Anteile (z.B. %, 1/3, 1/6, 1/9) nicht zulassen.

- Am besten fährt derjenige, der nach der Idee des Vaters vorgeht, einschließlich der nötigen Vorkehrungen (Aufstockung mit Ausgleich bei den Erbteilen). Er genießt die komfortabelste Situation, die denkbar ist, weil der Vater die Quanten des Problems gleich mitliefert. Da die konkrete Reihe der Tiere mit der abstrakten Reife der Erbanteile (Bausteine, Quanten) kongruent ist, gehört in der Parabel zu jedem Kamel ein solcher Erbanteil. Was von oben her in seine kleinsten Bausteine zerlegt worden ist, lässt sich von unten her zu allen gewünschten Verbindungen wieder zusammenfügen. Ein TeiIungsproblem kann überhaupt nicht entstehen.

Abschließend: der „theaterreife“ Vollzug der Teilung in der Parabel ist wunderbar, aber für die Lösung entbehrlich: es reicht die Durchführung eines entsprechenden Gedankenexperiments.


Anhang 2

 

Lieber Leserinnen und Leser, liebe Freunde der wbg,

vielen Dank für Ihr Interesse an einer Analyse der „17 Kamele“.

Sie kommen vermutlich - wie viele andere — zu dem Ergebnis: „es geht mathematisch nicht”.

Dem widerspreche ich: „und es geht doch“.

1. In der Parabel geschieht etwas Rätselhaftes. Die Frage lautet: Was ist geschehen? „Es geht mathematisch nicht“ ist dafür keine Antwort.

2. Diese Position geht von einem falschen Ausgangspunkt aus: sie hält die vom Vater bestimmten Erbquoten (1/2, 1/3, 1/9) für „vorgegeben“. Das sind sie aber nicht. Sie sind nicht frei festgelegt, sondern die „zwangsläufige Folge“ einer Strategie, die der Vater aus seiner Motivlage heraus verfolgen musste.

3. Diese Motivlage muss geklärt werden. Zunächst aber: das Ausgehen von der falschen Ausgangslage und das Rechnen mit den „vorgegebenen“ Erbquoten führt unweigerlich ins Chaos, „zum geht mathematisch nicht“.

4. Zur Motivlage des Vaters: er war gewiss kein Dummkopf, der sein Vermögen seinen Söhnen unter einer unerfüllbaren Bedingung hinterlässt und dann noch vergisst, das letzte 1/18 zu verteilen. Das wäre lebensfremd. Er war bestimmt ein verständiger Mensch, der rational handelt.

5. Deshalb dürfte ihm klar gewesen sein, dass seine Tiere trotz der Primzahl gar nicht in Gefahr waren: er hätte die Primzahl 17 durch sich selbst teilen können und die entstehenden 17/17 auf seine Söhne verteilen können (9/17 + 6/17 + 2/17 = 17/17). Er hätte die Tiere auch „real“ (ohne Erbquoten) teilen können.

6. Das einzige Motiv des Vaters dürfte gewesen sein, seine Söhne herauszufordern: „Was Du ererbst von Deinen Vätern hast, erwirb es, um es zu besitzen". Dazu taugten die einfachen Wege nicht, deshalb wollte der Vater sie nicht.

7. Er musste sich deshalb mit der Primzahl 17 auseinandersetzen. Wobei ihm klar war, dass 18 Kamele sein Problem lösen würden. Deshalb ersann er einen Weg über die mehrfach teilbare Zahl 18 eine geniale Idee.

8. Dazu musste der Vater Vorkehrungen treffen: Aufstockung der Herde von 17 auf 18 durch ein geliehenes Kamel! und Ergänzung der 17 Erbanteile um einen „Rückgabeanteil" für den Verleiher des 18. Kamels. Aus seiner eigenen Herde von 17/17 wurde so eine gemeinsame Herde von 18/18.

9. Und nun kommt der Angelpunkt des Rätsels. Der Vater musste 1/18 der gemeinsamen Herde dem Verleiher zurückgeben, und war damit auf Achtzehntel(statt vorher Siebenzehntel) festgelegt. Dies ist der Ausgangspunkt und nicht die „vorgegebenen“ Erbquoten des Vaters.

10. Nach der Rückgabe des geliehenen 18. Kamels verblieben für die Söhne 17/18 der gemeinsamen Herde, das waren die 17 Tiere des Vaters.

11. Bei der Festlegung der Erbquoten für die Söhne aus den 17/18 musste der Vater darauf achten, dass der Zähler der Erbquoten eine Teilung von 18 ist. Hierfür kommen wohl nur die „vorgegebenen“ Erbquoten von 1/2, 1/3, 1/9 in Betracht.

12. Nunmehr musste der Vater seine Strategie vor den Söhnen verstecken/verschlüsseln. Die unverdächtigen Erbteile 1/2, 1/3, 1/9 waren ein erster Schritt. Natürlich verschwieg er auch das zurückbehaltene 1/18. Wer dies erkannte, hatte allerdings den Schlüssel zur Strategie des Vaters. Schließlich sagte er auch nichts zur Notwendigkeit des 18. Kamels. Nicht die drei Söhne, sondern erst der Derwisch erkannte die Idee des Vaters.

13. Das erklärungsbedürftige Geschehen bei der Teilung der 17 Kamele — ohne dass ein Tier getötet würde — beweist durch Augenschein, dass das Rätsel lösbar ist.

Die Frage „Was ist geschehen“ bezieht sich auf die einzelnen Schritte der Lösung.

Wenn Sie behaupten: „geht mathematisch nicht“, so kann sich das nur auf Ihre Lösungsweg beziehen, da die Rätsellösung - wie gesagt - mathematisch geht. Und der Lösungsweg geht in der Tat mathematisch nicht: 17 Kamele auf 18 Anteile zu verteilen, geht wirklich nicht. Da Ihr Lösungsansatz versagt, müssen Sie eben einen anderen suchen.

Die Analyse der ‚verschlüsselten‘ Strategie des Vaters jedenfalls ist mathematisch möglich, führt zu der Lösung des Rätsels und erklärt die einzelnen Schritte. Vielleicht finden Sie aber auch einen anderen Weg.

14. Das Wichtigste an dem Rätsel der 17 Kamele ist allerdings etwas anderes: ein „Kollateral-Gewinn“. Sozusagen im Vorübergehen hat der Vater bewiesen: eine Primzahl kann umgangen werden, und was dafür nötig ist, Und sein Lösungsweg ist meines Erachtens so beschaffen, dass er für jede Primzahl gilt. Die tiefste Erkenntnis aus dem Rätsel: es gibt keine Primzahl, die nicht teilbar wäre, und zwar mittelbar über eine Nicht-Primzahl.

15. Diese lange Reihe von Gedankenerklärt das Geschehen in der Parabel der 17 Kamele, vermittelt eine neue Erkenntnis über die mittelbare Teilbarkeit von Primzahlen und wird der Figur des Vaters gerecht.

Herzliche Grüße

Werner Maier

Kommentare (1)