Die siebenzehn Kamele oder Die Kunst, aus einer unlösbaren Aufgabe eine lösbare zu machen

Die siebenzehn Kamele oder Die Kunst, aus einer unlösbaren Aufgabe eine lösbare zu machen

 

Vor vielen Jahren habe ich ein Rätsel gelesen. Ich habe immer wieder darüber nachgedacht. Mit der Lösung des Rätsels ergaben sich für mich interessante neue Erkenntnisse. Das Rätsel: Es ist lange her, da lebte im Orient ein reicher Mann. Er hatte siebenzehn Kamele, sie waren sein ganzes Vermögen. Und er hatte drei Söhne. Als der Mann seine letzte Stunde nahen sah, bestimmte er: sein erster Sohn bekommt die Hälfte, sein zweiter Sohn ein Drittel, sein dritter Sohn ein Neuntel seines Vermögens. Einzige Bedingung: kein Tier durfte bei der Erbteilung getötet werden. Dann starb der Vater.

Die Söhne machten sich an die Teilung des Erbes. Und sie sahen: es geht nicht, sie konnten die Bedingung des Vaters nicht erfüllen.

Als sie so miteinander stritten, kam des Weges auf seinem Kamel ein Derwisch. Die Söhne klagten ihm ihr Leid. Der kluge Derwisch überlegte einen Augenblick, dann sagte er: Ich werde euch helfen.

Er stellte sein Kamel neben die siebenzehn Kamele des Vaters: es waren dann achtzehn. Dem ersten Sohn gab er nach dem Willen des Vaters die Hälfte, das waren neun Kamele, dem zweiten Sohn ein Drittel, das waren sechs Kamele, dem dritten Sohn ein Neuntel, das waren zwei Kamele.

9 + 6 + 2 macht 17 Kamele. Bleibt 1 Kamel übrig: es war das Seine.

Der Derwisch nahm es und zog vergnügt seines Weges. Die Söhne waren glücklich.

Was ist geschehen?

Die Lösung:

1. Bei aufmerksamem Lesen der Geschichte fallen drei Dinge auf:

a) Eine Teilung der Erbschaft unter Einhaltung der Bedingung des Vaters ("keines der Tiere darf getötet werden") ist mathematisch unmöglich. Die 17 ist eine Primzahl: eine Zahl, die durch keine andere ganze Zahl (außer 1 und sich selbst) teilbar ist.

b) Hätte der Vater 18 statt 17 Kamele besessen, wäre die Einhaltung der Bedingung kein Problem gewesen: z.B. mit den Quoten 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

c) Der Vater hat mit den Erbanteilen für seine Söhne nicht sein ganzes Vermögen aufgeteilt: er hat 1/18 zurückbehalten. 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18.

Warum hat er das getan?

2. Es ist zweckmäßig, sich dem Problem aus der Sicht des Vaters zu nähern. Denn der Vater dürfte ein verständiger Mensch gewesen sein, der seinen Söhnen nicht eine Erbschaft hinterlassen wollte unter einer Bedingung, deren Erfüllung unmöglich war. Es lag ihm offensichtlich am Herzen, dass seine 17 Kamele unversehrt ("ohne, dass ein Tier getötet würde") unter seinen Söhnen aufgeteilt würden.

Natürlich sah er auch, dass dieser Wunsch ohne weiteres erfüllbar gewesen wäre, wenn er - statt 17 — 18 Kamele sein Eigen genannt hätte.

Da hatte der Vater eine Idee. Ich leihe mir ein Kamel und stelle es zu meinen 17 Kamelen, dann habe ich 18 Kamele. Dann bestimme ich nicht 3, sondern 4 Quoten (für die 3 Söhne und den Verleiher).

1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 9/18 + 6/18 + 2/18 + 1/18 = 1

Das sind 9 + 6 + 2 + 1 = 18 Kamele.

Nun verteile ich nur 17/18 der 18 Kamele an meine Söhne, das sind meine 17 Tiere. Der erste Sohn erhält von den 18 Kamelen die Hälfte, das sind 9 Kamele, der zweite Sohn ein Drittel, das sind 6 Kamele, der dritte Sohn ein Neuntel, das sind 2 Kamele. Macht zusammen meine 17 Kamele. Das letzte 1/18 behalte ich zurück: Es ist das geborgte Kamel, das ich zurückgebe.

Eine brillante Idee. Darum also hat der Vater 1/18 der Erbschaft zurückbehalten.

3. Warum hat der Vater diese Lösung seinen Söhnen nicht mit auf den Weg gegeben?

Oder von vornherein — statt Erbteile — die Tiere selbst real verteilt? Wir wissen es nicht. Vielleicht wollte er seine Söhne herausfordern: "Was du ererbt von deinen Vätern hast, erwirb es, um es zu besitzen". Auf jeden Fall hat er mit dem zurückbehaltenen 1/18 des Vermögens den Söhnen ein Signal gegeben, das diese hätten verstehen können. Aber sie verstanden es nicht. Der kluge Derwisch dagegen verstand das Signal sofort und konnte so zu der Realisierung der Idee des Vaters schreiten: Er borgte der Herde das eigene Kamel, das er nach Vollzug der Erbteilung wieder an sich nehmen konnte.

Damit wäre der mathematische Teil des Rätsels gelöst. Das aber ist nur ein Vorspiel für das Graben nach tieferliegenden Erkenntnissen.

4. Es bleibt nämlich die Frage: Wie kann es denn sein, dass eine ganzzahlige Teilung von 17 mathematisch unmöglich ist und dann auf einem Umweg doch möglich wird? Die Mathematik ist doch objektiv, unbestechlich und unmanipulierbar! Könnte es sein, dass die "blockierende Kraft" der Primzahl durch die Veränderung der Aufgabe (statt 17 Tiere auf drei Parteien werden 18 auf vier Parteien verteilt) "gebrochen" oder- sagen wir – wenigstens „umschifft“ wird? Indem das Problem auf eine andere Ebene, in einen anderen Zusammenhang gestellt wird? Denn durch das zurückbehaltene 1/18 werden ja tatsächlich 17 Tiere auf die drei Söhne verteilt und - was wichtig ist -, die Söhne sind mit dem Ergebnis voll einverstanden, weil es sie von der Bedingung des Vaters befreit.

Da also die Idee des Vaters offensichtlich das Problem löst, würde ich in aller Vorsicht sagen, die Macht der Primzahl kann umgangen werden (siehe Exkurs 1).

Und die Veränderung der Aufgabe muss nicht einmal real vollzogen werden, wie es in unserer Geschichte geschieht. Es genügt "virtueller Vollzug" als Gedankenexperiment.

5. Statt der scheinbar zu lösenden Aufgabe ist also eine andere Aufgabe gelöst worden. Mancher wird sagen: "Gute Idee! Na und?" Er würde allerdings die fundamentale Wirkung, die Tragweite dieser Idee verkennen.

Und damit kommen wir zum Kern unserer Geschichte. Denn der Vater und der Derwisch haben ein unlösbares Problem in ein lösbares Problem verwandelt und dieses > auch - zur Zufriedenheit aller Beteiligten - gelöst. Das ist eine hohe Kunst, ein Zeichen menschlicher Kreativität.

Es fragt sich, ob dieser Gedanke nicht immer dann auf den Tisch kommen sollte, wenn Menschen harte Brocken zu stemmen haben, insbesondere an naturgesetzliche Grenzen stoßen.

Die Konstellation ist folgende:

a) Es soll ein Ziel erreicht werden, wozu eine bestimmte Aufgabe bewältigt werden muss.

b) Es zeigt sich, dass diese Aufgabe an unüberschreitbare Grenzen (Mathematik, Naturgesetze) stößt. Die Lösung ist unmöglich.

c) Statt aufzugeben, wird versucht, diese Aufgabe so zu verändern, dass die Grenzen überwunden bzw. umgangen werden (in unserer Geschichte reichte hierfür ein zusätzliches Kamel).

d) Das Ergebnis der gelösten Aufgabe wird von allen Beteiligten als sachgerecht begrüßt.

6. Es wäre interessant, gelöste und ungelöste Probleme aus der Vergangenheit und Gegenwart unter diesem Blickwinkel zu betrachten. Vielleicht ist eine "Umweglösung" der beschriebenen Art nicht gesucht oder nicht gefunden worden.

Ich denke dabei z.B. an ein Problem, für dessen Lösung die Menschheit über 2000 Jahre gebraucht hat, und das in der Struktur dem der 17 Kamele ähnelt bzw. gleicht: Das Problem der "wohltemperierten Stimmung "in der Musik. Seit der Antike kämpften Komponisten und Musiker mit der Tatsache, dass bestimmte Töne und Tonarten dissonant und damit unbrauchbar waren, und dass vor allem nicht von einer Tonart in eine andere moduliert werden konnte. Man stand sozusagen vor einer naturgesetzlichen (physikalisch-akustischen) Schranke.

Das Problem wurde erst Ende des 17. Jahrhunderts von einem Deutschen gelöst, der radikal die Aufgabe umdefinierte, an der man immer wieder gescheitert war. Erst seitdem können wir die Musik in allen Tonarten und durch alle Tonartenfließend genießen (siehe Exkurs 2).

Bei einer Herausforderung der Gegenwart sehe ich eine ähnliche Situation: Der Klimawandel erfordert eine "Verkehrswende" und diese die "Elektromobilität". Den Strom sollen Batterien liefern, die bislang nur kurze Reichweiten bis zum nächsten Tanken erlauben. Stehen wir nicht auch hier vor naturgesetzlichen Grenzen der Chemie/Physik? Ich halte es für unmöglich, aus einer Batterie immer größere Strommengen zu erzeugen, ohne dass die Batterien immer größer und schwerer werden, was wiederum die '"Verkehrswende" ad absurdum führen würde. Es ist deshalb beruhigend, dass auch andere Wege zur Elektromobilität (z.B. die Brennstoffzelle) verfolgt werden.

 

Exkurs 1: Die umgangene Primzahl

Dem Vater ist bei seinem letzten Willen klar, dass seine 17 Kamele unter der Bedingung „kein Tier darf getötet werden“ nicht unter seinen Söhnen aufgeteilt werden können.

Er macht deshalb von Anfang an die Zahl 18 zum Ausgangspunkt seiner Idee: die nächste Zahl nach der Primzahl 17, die Zahl 18, ist durch mehrere ganze Zahlen teilbar. Da er nur 17 Tiere besitzt, muss er die Herde um ein geliehenes Kamel aufstocken. Für die Herde von 18 Tieren bildet der Vater nunmehr 18 Erbanteile als kleinste, nicht mehr teilbare Einheit (quasi: „Erbteilsquanten‘): 17 dieser Erbanteile gehören seinen Söhnen (9/18, 6/18, 2/18), der letzte Erbanteil von 1/18 ist für den Verleiher des 18. Kamels bestimmt.

Es gibt also 2 Reihen: die ‚reale Reihe“ der 18 Tiere und die „abstrakte Reihe“ der 18 Erbanteile. Jedem Tier entspricht ein Erbanteil von 1/18. Der Vorteil der Söhne durch das 18. Kamel in der realen Reihe wird durch eine Kürzung ihres Anteils an der Herde von 18 um 1/18 auf 17/18 in der abstrakten Reihe der Erbanteile ausgeglichen: 18 x 17/18, das sind wieder die 17 Tiere des Vaters.

Das Geheimnis der Teilung scheint mir nunmehr darin zu bestehen, dass die Teilung in einer „logischen Sekunde“ auf der Grundlage der realen Reihe der 18 Tiere erfolgt, bevor die „Gegenbuchung" in der abstrakten Reihe der 18 Erbanteile stattfindet.

Diesem inneren Bild entspricht das äußere Geschehen: statt 17 Tiere auf die drei Söhne werden 18 Tiere auf die drei Söhne und den Verleiher verteilt.

So ergibt sich der Erfolg der Idee des Vaters: die Primzahl ist umgangen und das Ergebnis wird von allen Beteiligten als sachgerecht begrüßt.

Die Primzahl entfaltet ihre blockierende Wirkung eben nur, wenn sie tatsächlich ganzzahlig geteilt werden soll. Und das geschieht hier gerade nicht: geteilt wird die Zahl 18.

Der Vater hätte im Übrigen die unlösbare Aufgabe auch anders in eine lösbare verwandeln können. Er hätte seine 17 Kamele real teilen können: auch hier hätten seine Söhne 9 bzw. 6 bzw. 2 Kamele (ohne Erbteile) bekommen. Dem hätte die Primzahl nicht im Weg gestanden. Der Vater wollte aber die Teilung auf Grund von Erbteilen. Auch hier hätte der Vater noch eine andere Möglichkeit gehabt: er hätte 17 Erbteile entsprechend der Zahl seiner 17 Kamele bilden können: der erste Sohn hätte 9/17, der zweite Sohn 6/17, der dritte Sohn 2/17 der Herde von 17 Tieren bekommen. Die Primzahl 17 hätte dem nicht entgegengestanden, denn jede Primzahl ist durch sich selbst (und durch 1) teilbar. Diese beiden einfachen Lösungen wollte der Vater aber nicht. Sie hätten seine Söhne nicht herausgefordert, und das wollte der Vater (Nr. 3). Und es hätte die schöne Geschichte der 17 Kamele nicht gegeben.

Fazit: Die mathematisch unlösbare Aufgabe einer ganzzahligen Teilung einer Primzahl kann in eine lösbare Aufgabe verwandelt werden. Das Prinzip, das der Vater in der Parabel der 17 Kamele erdacht hat, kann meines Erachtens auf alle Primzahlen angewendet werden.

Abschließend die mathematische Kurzfassung der Parabel:

17           =             18 x 17 / 18        =             9 + 6 + 2               =             17

vor                                 bei                            nach Teilung

 

Exkurs 2: Die wohltemperierte Stimmung

Das Thema "Stimmung" oder auch "Temperatur" in der Musiktheorie ist sehr kompliziert und mit viel Mathematik verbunden. Ich kann es deshalb nur laienhaft beschreiben.

Eine der ersten Tonleitern des Abendlandes hat der Philosoph Pythagoras um 500 v. Chr. entwickelt. Sie beruht auf einfachen mathematischen Zahlenverhältnissen. Es heißt, Pythagoras wollte damit die musikalische Harmonie mit der als vollendet empfundenen Sphärenharmonik in Verbindung bringen. Er ging folgendermaßen vor: Er bestimmte eine Frequenz zum Grundton (C), verdoppelte diese Frequenz zur Oktave (C') durch Teilung einer Saite in der Mitte, halbierte diese Frequenz wieder zum G (Quinte), dessen Frequenz er wiederum verdoppelte zur nächsten Oktave, diese Frequenz wieder halbierte usw. Von den so entstandenen Tönen klangen die ersten harmonisch (konsonant), die letzten aber immer unharmonischer (dissonant). Der Grund dürfte gewesen sein: Pythagoras ging von einer durch die Oktave linear steigenden Frequenz aus, während in der akustischen Wirklichkeit mit steigender Tonhöhe die Frequenz immer schneller ansteigt. Es ist klar: gegen die Naturgesetze der Physik hatten die "einfachen Zahlenverhältnisse" des Pythagoras keine Chance. Die Folge war ein "Tonrest", um den der 12. Ton der Oktave die natürliche Frequenz überstieg: das sogenannte "pythagoräische Komma".

Dieses führte dazu, dass nur wenige Tonarten gut klangen und deshalb auch nicht von einer Tonart in eine andere gewechselt werden konnte.

Trotz dieser Schwächen wurde die "pythagoräische Skala" 2000 Jahre lang in der abendländischen Musik verwendet. Die Tonmeister versuchten jedoch über die Jahrhunderte hinweg das "pythagoräische Komma" zu entschärfen, indem sie es in ihnen geeignet erscheinender Weise auf die Töne der Oktave verteilten, vor allem mit dem Ziel, möglichst reine Terzen und Quinten als sehr wichtige Intervalle zu erhalten. Sie begründeten damit neue musikalische Stimmungen: z.B. die "reine Stimmung”, die "mitteltonige Stimmung”, die "ungleichschwebende Stimmung". Die Ergebnisse all dieser Versuche waren jedoch unbefriedigend. Je mehr einzelne Töne verbessert wurden, desto dissonanter wurden andere Töne, bis hin zu der berüchtigten "Wolfsquinte".

Erst um 1700 löste der Musiktheoretiker und Instrumentenbauer Andreas Werckmeister das Problem auf radikale Weise: durch die "gleichschwebende (wohltemperierte) Stimmung". Er verteilte das "Komma" gleichmäßig auf alle 12 Töne der Oktave, also auf jeden Ton 1/12 des Kommas, wodurch alle Töne leicht dissonant wurden. Und jetzt wage ich eine kühne Deutung seines Vorgehens. Er hatte erkannt, dass die Versuche seiner Vorgänger nicht zum Erfolg führen konnten, weil sie den einen Ton reiner, andere dafür unreiner machten: ein Nullsummenspiel! Deswegen entwickelte er eine ganz andere Strategie: Er minimierte die Dissonanzwirkung des Kommas durch die gleichmäßige Verteilung und setzte dabei auf die Anpassungsfähigkeit des menschlichen Gehörs: darauf, dass die Menschen sich an die leichte Dissonanz gewöhnen, sie bald nicht mehr hören. Er sollte rechtbehalten. Das war der Durchbruch. Werckmeister hatte eine unlösbare Aufgabe in eine lösbare verwandelt.

Johann Sebastian Bach war sehr interessiert an den Bemühungen seines Landsmannes und verhalf der neuen Stimmung unverzüglich zu weltweiter Verbreitung. Er schuf das "wohltemperierte Klavier" in zwei Teilen mit jeweils 24 Präludien und Fugen und zeigte damit allen, dass man mit der "wohltemperierten Stimmung" in allen und durch alle Tonarten musizieren konnte. Ein Meilenstein der Musikgeschichte.

Das ganze Thema wird in eindrucksvoller Weise von dem Amerikaner Robert Jourdain in seinem Buch "Das wohltemperierte Gehirn" (Spektrum) dargestellt. Siehe auch Musik-Brockhaus und Ullstein-Musiklexikon unter den Stichworten "Stimmung", "Temperatur", "Komma" sowie Wikipedia unter das "wohltemperierte Klavier".

Es ist ein weiter Bogen von den 17 Kamelen zur "wohltemperierten Stimmung". Beide Geschichten verbindet jedoch ein Gedanke: Wer vor einer objektiv unlösbaren Aufgabe steht, sollte erst dann aufgeben, wenn er erfolglos versucht hat, die Aufgabe durch Veränderung lösbar zu machen. Manchmal gelingt das.

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